雑想庵の破れた障子
ぺんぺん草に埋もれた山中の雑想庵。 破れた障子の小さな穴から見えるものを綴ります。
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なぜ、観測史上最大という表現がダメなのか? (前篇)
先ず、べき分布とは? どういうものか。
少し学習をしませう。

内閣府 『国民生活白書』 【コラム】 正規分布とベキ分布

引用開始】 正規分布とは、ある標本集団のばらつきが、その平均値を境として前後同じ程度にばらついている状態を示し、これを表した分布図で見ると、平均値を線対称軸とした左右対称の釣鐘型でなだらかな曲線を描く。つまり、平均値の周辺にサンプルが多く集まり、値が大小の左右の裾野に向かうとサンプル数が急激に減る。

一方、ベキ分布とは、極端な値をとるサンプルの数が正規分布より多く、そのため大きな値の方向に向かって曲線は長くなだらかに裾野を伸ばしていく。

べき分布と正規分布

これまで正規分布は統計の基礎となり、特に、経済学が数学モデルを作る時に使う確率分布には自然科学の分野で考案されたこの正規分布が多かったが、近年の経済物理学の研究から、経済現象の多くは正規分布ではなくベキ分布に従っていることが判明している。例えば、所得や純資産などの富の分布や株価などの価格の変化といった経済現象は正規分布ではなく、ベキ分布に従うことが分かっている。

ベキ分布は確率分布の一つに過ぎないが、正規分布では起こりえない事象が実際にはある程度の確率で起こってしまう(不確実性の)問題を考える上で、有効なツールと考えられている。 【引用終了】 


●これで、大雑把にべき分布というものがどうゆうものか分かりました。詳しくは、Wikipediaの 冪乗則 (べきじょうそく) を見ればいいのですが、説明や数式を見よったら頭痛がしてきそうです。ここで重要なのは例示されているグラフです。このグラフの形状が大事なのであります。

べき分布のグラフの一例
↑ インターネット販売 (例えばアマゾンなど) では膨大な商品アイテム数を扱うようですが、何万、何十万という商品ごとに売り上げ販売数の順位をつけて、全アイテムを順番にならべると、このようなグラフになるというのであります。順位の上位では何万個と飛ぶように売れても、ちょっと順位が下がると1000個、100個と急激に減り、順位の後ろの方では5個とか1個だけとかなってしまいます。僅かしか売れない商品が後ろのほうにズラズラと並びます。恐竜の尾を引くように長くのびる (ロングテール) というのです。要するに、売れ筋の商品は僅かで、大部分は売れないという事です。上位20%の商品群で、全体の売り上げの80%を稼ぎ出すそうだ。


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実際の例
これで、べき分布というものがどういうふうな確率分布なのか、おぼろげながら、直感的・感覚的には分かりましたが、自然界にも、ヒトの社会にもべき分布がいたるところに沢山見出せます。2つ例をあげます。(作成したグラフを掲げます)

実例1
小規模な地震ほど頻繁にたくさん発生しますが、中地震 → 大地震 → 巨大地震と規模が大きくなるほどに発生頻度が減り、べき分布になっています。独立行政法人 防災科学技術研究所「地震の基礎知識 1章2マグニチュード」 から数字を拾った。日本周辺で1997~2013年の17年間に発生したマグニチュード別の地震回数のグラフです。 普通のグラフではロングテール部分がグラフの横軸にほとんどくっついてしまって実際の数字が分からなくなるので、片対数グラフも掲げます。 なお、申すまでもなく、横軸も実は対数スケールになっています。マグニチュードが1上がるごとに地震のエネルギーは約32倍になっています。

地震の規模と発生数

地震の規模と発生数

実例2
夜空に輝く星々は、明るい星ほど少なく、暗い星ほど無数にあります。これもべき分布になっています。なお、これも横軸は対数スケールです。1等星は6等星の100倍の明るさとされ、1等級上がるごとに100の5乗根倍 (約2.52倍) になっています。

恒星の等級と個数

恒星の等級と個数


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前置きが長くなりましたが、本題は後編で考えます。
気象現象の降水 (日降水量) がまさにべき分布になっているのであります。小雨(こさめ)の出現頻度は多く、並雨 → 本降り → 大雨 → 豪雨 →記 録的豪雨と、雨の強度が増すほどに出現頻度が急激に減ります。グラフを書けば地震や星の等級と同じようなグラフになります。  【後編に続く


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